跳表

最后更新：2020-01-03

基本上都是复制的极客时间的课程

跳表全称为跳跃列表，它允许快速查询，插入和删除一个有序连续元素的数据链表。跳跃列表的平均查找和插入时间复杂度都是O(logn)。快速查询是通过维护一个多层次的链表，且每一层链表中的元素是前一层链表元素的子集。一开始时，算法在最稀疏的层次进行搜索，直至需要查找的元素在该层两个相邻的元素中间。这时，算法将跳转到下一个层次，重复刚才的搜索，直到找到需要查找的元素为止。

  • 插入 O(log N)
  • 删除 O(log N)
  • 查找 O(log N)

上图是一张跳跃列表的示意图。每个带有箭头的框表示一个指针, 而每行是一个稀疏子序列的链表；底部的编号框（黄色）表示有序的数据序列。查找从顶部最稀疏的子序列向下进行, 直至需要查找的元素在该层两个相邻的元素中间。

对于单链表来说，即使数据是已经排好序的，想要查询其中的一个数据，只能从头开始遍历链表，这样效率很低，时间复杂度很高，是 O(n)。

为了提高效率，我们可以为链表建立一个“索引”，这样查找起来就会更快，如下图所示，我们在原始链表的基础上，每两个结点提取一个结点建立索引，我们把抽取出来的结点叫做索引层或者索引，down 表示指向原始链表结点的指针。

如果我们现在要查找某个结点，比如 16。我们可以先在索引层遍历，当遍历到索引层中值为 13 的结点时，我们发现下一个结点是 17，那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 2 个结点，就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样，原来如果要查找 16，需要遍历 10 个结点，现在只需要遍历 7 个结点。

通过这个例子我们可以看出来，通过建立一个索引层，我们查找一个基点需要遍历的次数变少了，也就是查询的效率提高了。

那么如果我们给索引层再加一层索引呢？

现在我们再来查找 16，我们从第二级索引开始，最后找到 16，一共遍历了 6 个结点，果然效率更高。那么，如果当链表的长度为10000、10000000时，通过构件索引之后，查找的效率就会提升的非常明显。

时间复杂度

先来看这样一个问题，如果链表里有 n 个结点，会有多少级索引呢？

按照我们刚才讲的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大约就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2，那第 k级索引结点的个数就是 n/(2k)。

假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2h)=2，从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2n。我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。

那这个 m 的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点，也就是说 m=3。

假设我们要查找的数据是 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的结点 z，所以我们通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。

通过上面的分析，我们得到 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说，我们其实是基于单链表实现了二分查找.

空间复杂度

比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。那到底需要消耗多少额外的存储空间呢？我们来分析一下跳表的空间复杂度。

跳表的空间复杂度分析并不难，我在前面说了，假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点，抽一个结点到上级索引，通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。

实际上，在软件开发中，我们不必太在意索引占用的额外空间。在讲数据结构和算法时，我们习惯性地把要处理的数据看成整数，但是在实际的软件开发中，原始链表中存储的有可能是很大的对象，而索引结点只需要存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

插入和删除

我们知道，在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是 O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。

但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 O(logn)

如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，一定要获取前驱结点。当然，如果我们用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。

当我们不停地往跳表中插入数据时，如果我们不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。作为一种动态数据结构，我们需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作性能下降。

当我们往跳表中插入数据的时候，我们可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。我们通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值 K，那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

随机函数的选择很有讲究，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。

实现

跳表在实现上有两种方式，第一种采用链表实现，第二种采用数组实现，源码太多就不贴了。

链表使用双向链表的实现，每个节点中包含了当前节点的指针，以及向前、向后、向上、向下节点的指针，这种方式比较容易理解。

而采用数组的实现相对来说不容易理解，每个节点都包含了一个节点数组用来表示当前节点的下一个节点，同时这个数组还维持了多个层级的数据，而完成数据的查找。

  private class Node<K extends Comparable<K>, V> {

    private K key;
    private V value;
    // 每个节点都包含了一个节点数组用来表示当前节点的下一个节点，同时这个数组还维持了多个层级的数据，而完成数据的查找，比较难理解，debug了好几遍才弄明白
    // next[1]表示第一层,next[2]表示第二层
    private Node<K, V> next[];

    //跨越几层
    private int level;

    public Node(K key, V value, int level) {
      this.key = key;
      this.value = value;
      this.level = level;
      this.next = new Node[level];
    }
  }

我也是看了别人的源码也无法理解这种实现，最后又搜了一些资料分析了很长一段时间才理解

31-------------------------------------------------------------88-------
14-------18-------21-------31----------------------------------88-------
14-------18-------21-------31-------------------------84-------88-------99-------
14-------18-------21-------31----------------83-------84-------88-------98-------99-------
14-------18-------21-------31-------52-------83-------84-------88-------98-------99-------

对于上面的跳表，总共5层，那么head存储的就是node[5]{14,14,14,14,31}，通过node[4].next就得到了将31右侧从第5层遍历到第1层的数据88,88,84,83,52，就得到 同理node[3].next就得到了14从第4层遍历到第1层的数据18,18,18,18，从而node[3].next[2]就得到了14从第4层向右侧遍历到第2层的数据18

如果这时候我们从第4层开始插入一个40，先要从第4层找到每一层距离40最近的节点

while (p.next[i] != null && p.next[i].key.compareTo(key) < 0) {
	// 这里就是每层最接近指定key的节点
	p = p.next[i];
}

4:31
3:31
2:31
1:31

然后依次将40插入到31的右边

4:head[3].next=40
3:head[2].next=40
2:head[1].next=40
1:head[0].next=40

代码如下：

for (int i = 0; i < level; ++i) {
  newNode.next[i] = update[i].next[i];
  if (update[i].next[i] != null && update[i].next[i].key.equals(key)) {
	oldValue = update[i].next[i].value;
	existed = true;
	update[i].next[i].value = value;
  } else {
	update[i].next[i] = newNode;
  }
}

理解了新增，对于查询就能理解了：直接遍历每层，找到最接近的节点

Node<K, V> p = head;
for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
  while (p.next[i] != null && p.next[i].key.compareTo(key) < 0) {
	p = p.next[i];
  }
}

if (p.next[0] != null && p.next[0].key.compareTo(key) == 0) {
  return p.next[0].value;
} else {
  return null;
}

参考资料

http://igoro.com/archive/skip-lists-are-fascinating

https://www.jianshu.com/p/fef9817cc943

https://time.geekbang.org/column/article/42896

https://cloud.tencent.com/developer/article/1422115

https://www.open-open.com/code/view/1453949812917

Edgar

Edgar
一个略懂Java的小菜比